题目内容
如图，△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒．
（1）若a=2，那么t为何值时△BPQ与△BDA相似？
（2）已知M为AC上一点，若当t=
时，四边形PQCM是平行四边形，求这时点P的运动速度．
（3）在P、Q两点运动工程中，要使线段PQ在某一时刻平分△ABD的面积，点P的运动速度应限制在什么范围内？【提示：对于一元二次方程，有如下的结论：若x1•x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2=-
，x1•x2=
】
（1）若a=2，那么t为何值时△BPQ与△BDA相似？
（2）已知M为AC上一点，若当t=
| 3 |
| 2 |
（3）在P、Q两点运动工程中，要使线段PQ在某一时刻平分△ABD的面积，点P的运动速度应限制在什么范围内？【提示：对于一元二次方程，有如下的结论：若x1•x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2=-
| b |
| a |
| c |
| a |
考点：相似形综合题,解一元一次方程,根的判别式,根与系数的关系,等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质
专题：压轴题
分析：（1）当a=2时，可以得到BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10；而△BPQ与△BDA相似，对应关系不确定，故需分△BPQ∽△BDA和△BQP∽△BDA两种情况讨论；根据相似三角形的性质建立方程，即可求出对应t的值．
（2）当t=
时，可以得到BP=
a，DQ=
，BQ=
，BA=10．由四边形PQCM是平行四边形可得PQ∥AC，从而有△BPQ∽△BAC，根据相似三角形的性质建立方程，即可求出点P的运动速度．
（3）由线段PQ平分△ABD的面积得S△BPQ=
S△ABD，从而有
at(6-t)=
×6×8，整理得：at2-6at+60=0．由题可知该方程有正的小于6的实数根．由根与系数的关系及根的判别式就可确定a的范围．
（2）当t=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
（3）由线段PQ平分△ABD的面积得S△BPQ=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
解答：解（1）当a=2时，BP=2t，DQ=1×t=t．
∵D是BC中点，BC=12，
∴BD=DC=6．
∴BQ=6-t．
①当△BPQ∽△BDA时，如图1，
则有
=
．
∵BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10，
∴
=
．
解得：t=
．
②当△BQP∽△BDA时，如图2，
则有
=
．
∵BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10，
∴
=
．
解得：t=
．
∴当a=2时，t=
秒或
秒时，△BPQ与△BDA相似．
（2）当t=
且四边形PQCM是平行四边形时，如图3，
则有PQ∥AC，BP=
a，DQ=1×
=
，BQ=6-
=
．
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴
=
．
∵BP=
a，BA=10，BQ=
，BC=12，
∴
=
．
解得：a=2.5．
∴点P的速度是2.5厘米/秒．
（3）作PE⊥BC，垂足为E，如图4，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵AB=10，BD=6，
∴AD=8．
∵PE⊥BC，AD⊥BC，
∴△BEP∽△BDA．
∴
=
．
∵AD=8，BP=at，BA=10，
∴
=
．
∴EP=
at．
∴S△BPQ=
BQ•EP=
（6-t）•
at=
at(6-t)．
∵线段PQ平分△ABD的面积，
∴S△BPQ=
S△ABD．
∴
at(6-t)=
×
×6×8．
整理得：at2-6at+30=0．（a＞0）
由题可得：△=（-6a）2-4a×30≥0．
解得：a≥
．
此时t1•t2=
＞0，t1+t2=6＞0．
∴方程at2-6at+60=0有两个小于6的正实根．
∴点P的速度应大于或等于
厘米/秒．
∵D是BC中点，BC=12，
∴BD=DC=6．
∴BQ=6-t．
①当△BPQ∽△BDA时，如图1，
则有
| BP |
| BD |
| BQ |
| BA |
∵BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10，
∴
| 2t |
| 6 |
| 6-t |
| 10 |
解得：t=
| 18 |
| 13 |
②当△BQP∽△BDA时，如图2，
则有
| BQ |
| BD |
| BP |
| BA |
∵BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10，
∴
| 6-t |
| 6 |
| 2t |
| 10 |
解得：t=
| 30 |
| 11 |
∴当a=2时，t=
| 18 |
| 13 |
| 30 |
| 11 |
（2）当t=
| 3 |
| 2 |
则有PQ∥AC，BP=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴
| BP |
| BA |
| BQ |
| BC |
∵BP=
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴
| ||
| 10 |
| ||
| 12 |
解得：a=2.5．
∴点P的速度是2.5厘米/秒．
（3）作PE⊥BC，垂足为E，如图4，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵AB=10，BD=6，
∴AD=8．
∵PE⊥BC，AD⊥BC，
∴△BEP∽△BDA．
∴
| EP |
| AD |
| BP |
| BA |
∵AD=8，BP=at，BA=10，
∴
| EP |
| 8 |
| at |
| 10 |
∴EP=
| 4 |
| 5 |
∴S△BPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
∵线段PQ平分△ABD的面积，
∴S△BPQ=
| 1 |
| 2 |
∴
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
整理得：at2-6at+30=0．（a＞0）
由题可得：△=（-6a）2-4a×30≥0．
解得：a≥
| 10 |
| 3 |
此时t1•t2=
| 30 |
| a |
∴方程at2-6at+60=0有两个小于6的正实根．
∴点P的速度应大于或等于
| 10 |
| 3 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、根的判别式、根与系数的关系、勾股定理、解一元一次方程等知识，综合性比较强，本题还考查了分类讨论的思想，有一定的难度．
练习册系列答案
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一次函数y=2x-3的图象经过（ ）
| A、.第一、二、四象限 |
| B、.第一、三、四象限 |
| C、第一、二、三象限 |
| D、.第二、三、四象限 |
后的收入情况，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（收入取整数，单位：元）．
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=