Question

12．若两个一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0），y=k₂x+b₂（k₂≠0），则称函数y=（k₁+k₂）x+b₁b₂为这两个函数的“和谐函数”．
（1）求一次函数y=2x+3与y=-4x+4的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求△ABO的面积；
（2）若一次函数y=-ax+1，y=x-2b的“和谐函数”为y=4x+3，则a=-3，b=-$\frac{3}{2}$；
（3）已知一次函数y=x+b与y=-kx+5的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数k、b满足的条件为：k＞1且b＞0（用“＞”、“=”、“＜”填空）．

Answer 1

分析 （1）根据和谐函数的定义即可直接求解；
（2）根据和谐函数定义即可得到一个关于a和b的方程组，解方程组求解；
（3）首先求得和谐函数，然后根据图象经过第一、二、四象限，即可列不等式求解．

解答 解：（1）此“和谐函数”是y=（2-4）x+3×4，即y=-2x+12，
令x=0，则y=12，
当y=0时，-2x-12=0，解得：x=6，
则S_△ABO=$\frac{1}{2}$×6×12=36；
（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-a+1=4}\\{-2b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
故答案是：-3，-$\frac{3}{2}$；
（3）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{1-k＜0}\\{5b＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{b＞0}\end{array}\right.$．
故答案是：＞，＞．

点评 本题考查了一次函数的性质，一次函数中当k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的怎大而减小．理解和谐函数的定义是关键．