Question

如图，以?ABCD的边AB为直径的⊙O经过点D，点E在⊙O上，∠AED=45°，
（1）判断CD与⊙O的关系，并说明理由．
（2）若已知：∠ADE=54°，⊙O的半径为5，求劣弧AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,平行四边形的性质,弧长的计算

专题：计算题

分析：（1）连结OD，根据圆周角定理得到∠AOD=2∠AED=90°，再利用平行四边形的性质得AB∥CD，则∠CDO=∠DOA=90°，所以OD⊥DC，然后根据切线的判定定理得到CD与⊙O相切；
（2）连结OE，根据圆周角定理得到∠AOE=2∠ADE=108°，然后根据弧长公式计算．

解答：解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDO=∠DOA=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD与⊙O相切；

（2）连结OE，
∵∠AOE=2∠ADE=2×54°=108°，
∴劣弧AE的长=

108•π•5

180

=3π．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、平行四边形的性质和弧长公式．