Question

如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=12，AP是半圆的切线，点C是半圆上的一动点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥AP于点D，记∠COA=α．
（1）当α=60°时，求CD的长；
（2）当α为何值时，CD与⊙O相切？说明理由；
（3）当AD=3

2

时，求α的值．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）作CE⊥AB于点E，在直角△OCE中，利用三角函数求得OE的长，则CD=AE=OA-OE，据此即可求解；
（2）当∠α=90°时，CD与⊙O相切，根据切线的性质以及矩形的判定定理即可作出判断；
（3）在直角△OCE中，利用三角函数求得∠COE的度数，即可求得∠α的度数．

解答：解：（1）作CE⊥AB于点E．
在直角△OCE中，OE=OC•cos∠COA=

1

2

×6=3，
则CD=OA-OE=6-3=3；

（2）∠α=90°，CD与⊙O相切．
理由：当∠α=90°，
则在四边形OCDA中，∠COA=∠OAD=∠CDA=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（3）当C的位置如左边的图时，在直角△OCE中，OC=6，CE=AD=3

2

，
∴sin∠COE=

3 2

6

=

2

2

，
∴∠COE=45°，
则∠α=45°，
当C的位置如右图时，∠COE=45°，
则∠α=180°-45°=135°．
故α=45°或α=135°．

点评：本题考查了三角函数以及切线的判定方法，正确对C的位置分成两种情况进行讨论是关键．