Question

【题目】如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，联结，设.

（1）当点在边上时，

①求的面积；（用含的代数式表示）

②当时，求的值；

（2）当点在边的延长线上时，如果与相似，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①，②3：1；（2）m=或.

【解析】

(1)①作EM⊥AB，DN⊥AB，由，即可求解；

②易证：AEF~BGF，得：，即：=，结合，，即可得到答案；

(2)由∠AEF=∠FGC=90°，与相似，分两种情况讨论：①当~时，②当~时，分别求出答案，即可.

(1) ①作EM⊥AB，DN⊥AB，如图1，

∵，

∴EM：AM：AE=2：1：，DN：AN：AD=2：1：，

∵，

∴EM=，DN=，

∵，

∴，即：EF=2m，AF=，

∴，

即：

②∵在平行四边形中，AD∥BC，

∴AEF~BGF，

∴，

∴==，

∵，

∴当时，=，解得：，（舍）

∴AE=，DE=，

∴=3：1；

(2)∵∠AEF=∠FGC=90°，

∴与相似，分两种情况讨论：

①当~时，如图1，

∴∠AFE=∠FCG，

∵∠AFE+∠GBF=90°，

∴∠FCG+∠GBF=90°，

∴∠BFC=90°，

∴BF：CF：BC=1：2：，

∵BC=AD=，

∴BF=1，

∴AF=AB+BF=5+1=6，

∵AE：EF：AF=1：2：，

∴AE=6÷=，即：m=；

②当~时，如图3，

∴∠AFE=∠CFG，

在BFG和CFG中，

∵

∴BFGCFG(ASA)，

∴BG=CG=，

∵BG：GF：BF=1：2：，

∴BF=，

∴AF=5+=，

∵AE：EF：AF=1：2：，

∴AE=÷=，即：m=；

综上所述：m=或.

图1

图2

图3