Question

已知关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；
（3）在（2）的条件下，将关于x的二次函数y=mx²+（3m+1）x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用方程mx²+（3m+1）x+3=0（m≠0）的△判定即可；
（2）由求根公式，得x₁=-3，x₂=-

1

m

，再由方程的两个根都是整数，且m为正整数，可得m的值；
（3）正确画出图形，分两种情况求解即可．

解答：（1）证明：∵m≠0，
∴mx²+（3m+1）x+3=0是关于x的一元二次方程．
∴△=（3m+1）²-12m
=（3m-1）²．
∵（3m-1）²≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：由求根公式，得x₁=-3，x₂=-

1

m

． 
∵方程的两个根都是整数，且m为正整数，
∴m=1．
（3）解：∵m=1时，
∴y=x²+4x+3．
∴抛物线y=x²+4x+3与x轴的交点为A（-3，0）、B（-1，0）．
依题意翻折后的图象如图所示，

当直线y=x+b经过A点时，可得b=3．
当直线y=x+b经过B点时，可得b=1．
∴1＜b＜3． 
当直线y=x+b与y=-x²-4x-3
的图象有唯一公共点时，
可得x+b=-x²-4x-3，
∴x²+5x+3+b=0，
∴△=5²-4（3+b）=0，
∴b=

13

4

．
∴b＞

13

4

．
综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞

13

4

．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是观察、分析、正确的画出二次函数图象，然后数形结合解决问题．