定义:我们把平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(满足条件的所有点所组成的图形)叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点.直线l叫做抛物线的准线．(1)已知抛物线的焦点F.准线l:$y=-\frac{1}{4a}$.求抛物线的解析式,(2)已知抛物线的解析式为:y=x2-n2.点A(0.$\frac{1}{4}-{n^2}$).B(1.2-n2).P为抛物线上一点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
（1）已知抛物线的焦点F（0，$\frac{1}{4a}$），准线l：$y=-\frac{1}{4a}$，求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的解析式为：y=x²-n²，点A（0，$\frac{1}{4}-{n^2}$）（n≠0），B（1，2-n²），P为抛物线上一点，求PA+PB的最小值及此时P点坐标；
（3）若（2）中抛物线的顶点为C，抛物线与x轴的两个交点分别是D、E，过C、D、E三点作⊙M，⊙M上是否存在定点N？若存在，求出N点坐标并指出这样的定点N有几个；若不存在，请说明理由．

分析（1）直接根据新定义即可求出抛物线的解析式；
（2）首先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，根据PA+PH最短时，P、B、A共线，据此求出PA+PB的最小值及此时P点坐标；
（3）设OQ=m（m＞0），则CQ=QE=n²-m，在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|²+m²=（n²-m）²，进而求出ON是定值，据此作出判断．

解答解：（1）设抛物线上有一点（x，y），
由定义知：x²+（y-$\frac{1}{4a}$）²=|y+$\frac{1}{4a}$|²，
解得y=ax²；
（2）如图1，由（1）得抛物线y=x²的焦点为（0，$\frac{1}{4}$），准线为y=-$\frac{1}{4}$，
∴y=x²-n²由y=x²向下平移n²个单位所得，
∴其焦点为A（0，$\frac{1}{4}$-n²），准线为y=-$\frac{1}{4}$-n²，
由定义知P为抛物线上的点，则PA=PH，
∴PA+PH最短为P、B、A共线，此时P在P′处，
∵x=1，
∴y=1-n²＜2-n²，
∴点B在抛物线内，
∴BI=y_B-y_I=2-n²-（-$\frac{1}{4}$-n²）=$\frac{9}{4}$，
∴PA+PB的最小值为$\frac{9}{4}$，此时P点坐标为（1，1-n²）；
（3）由（2）知E（|n|，0），C（0，n²），
设OQ=m（m＞0），则CQ=QE=n²-m，
在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|²+m²=（n²-m）²，
解得m=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
则QC=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$=QN，
∴ON=QN-m=1，
即点N（0，1），
故AM过定点N（0，1）．