Question

梯形ABCD中，AB∥CD，AB=kAC，E为腰BC上一点，且∠AED=∠BAC．
（1）如图1，当k=1时，试判断AE与DE的数量关系，并加以证明．
（2）如图2，当k≠1时，∠ACB＜90°，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，写出新的数量关系，并加以证明．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）求出A、D、C、E四点共圆，推出∠ADE=∠ACB，求出∠ADE=∠DAE，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）求出A、D、C、E四点共圆，推出∠ADE=∠ACB，推出△ADE和△ACB相似，得出比例式，求出即可．

解答：（1）AE=DE，
证明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵∠AED=∠BAC，
∴∠DCA=∠DEA，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE=∠ACB，
∵AB=kAC，k=1，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE；

（2）（1）中的结论不成立，
AE=kDE，
证明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵∠AED=∠BAC，
∴∠DCA=∠DEA，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠BAC=∠DEA，
∴△ADE∽△BCA，
∴

DE

AE

=

AC

AB

，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DAE=∠ADE，AB=kAC，
∴AE=kDE．

点评：本题考查了四点共圆的条件，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定难度．