Question

【题目】如图，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.

(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋3x；(2) 当x＝3时，y有最大值，为4.5.

【解析】（1）由矩形的周长为12，AB=x，结合矩形的性质可得BC=6-x，然后由E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点可得四边形EFGH的面积是矩形面积的一半，从而列出函数关系式；

（2）由关系式为二次函数以及二次项系数小于0可得四边形EFGH的面积有最大值，然后利用配方法将抛物线的解析式写成顶点式，从而得到x取什么值时，y取得最大值，以及最大值是多少.

(1)∵矩形ABCD的周长为12，AB＝x，

∴BC＝×12－x＝6－x.

∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，

∴y＝x(6－x)＝－x2＋3x，

即y＝－x2＋3x.

(2)y＝－x2＋3x＝－ (x－3)2＋4.5，

∵a＝－＜0，

∴y有最大值，

当x＝3时，y有最大值，为4.5.