Question

15．关于x的二次函数y₁=kx²+（2k-1）x-2（k为常数）和一次函数y₂=x+2．
（1）若k=2，求函数y₁的顶点坐标；
（2）若函数y₁的图象不经过第一象限，求k的取值范围；
（3）已知函数y₁的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，
①试求此时k的值；
②若y₁＞y₂，试求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将k=2时的函数解析式配方成顶点式即可得；
（2）由该抛物线与x轴的交点为（-2，0）、（$\frac{1}{k}$，0），与y轴的交点为（0，-2），根据函数y₁的图象不经过第一象限知点（$\frac{1}{k}$，0）必不在x轴的正半轴上，据此解答即可；
（3）①根据两点间的距离公式列出关于k的方程求解可得；
②分k=1和k=-$\frac{1}{5}$两种情况，依据y₁＞y₂列出关于x的不等式，解之可得．

解答 解：（1）当k=2时，y₁=2x²+3x-2=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴顶点坐标为（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{25}{8}$）；

（2）∵y₁=2（x+2）（x-$\frac{1}{k}$），
∴该抛物线与x轴的交点为（-2，0）、（$\frac{1}{k}$，0），与y轴的交点为（0，-2），
而函数y₁的图象不经过第一象限，
∴点（$\frac{1}{k}$，0）必不在x轴的正半轴上，
∴$\frac{1}{k}$＜0，即k＜0；

（3）①∵y₁的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，
∴$\frac{1}{k}$+2=±3，
解得：k₁=1，k₂=-$\frac{1}{5}$；

②当k=1时，y₁=（x+2）（x-1），y₂=x+2
∵y₁＞y₂，
∴（x+2）（x-1）＞x+2，即（x+2）（x-2）＞0，
解得：x＜-2或x＞2；
当k=-$\frac{1}{5}$时，
∵y₁＞y₂，
∴-$\frac{1}{5}$（x+2）（x+5）＞x+2，即（x+2）（x+10）＜0，
解得：-10＜x＜-2．

点评 本题主要考查二次函数与不等式组及二次函数与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．