Question

4．如图，线段EF的长为4，O是EF的中点，以OF为边长做正方形OABC，连接AE、CF交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°止，则点P运动的路径长为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• B． $\sqrt{2}$π
• C． 2π
• D． 2$\sqrt{2}$π

Answer 1

分析 如图，连接AC．首先证明∠EPF=135°，推出点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是$\widehat{EPF}$，在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°-∠EPF=45°，推出∠EKF=2∠M=90°，因为EF=4，所以KE=KF=2$\sqrt{2}$，根据弧长公式计算即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC．

∵AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFC=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，
∵EF是直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠EPF=135°，
∴点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是$\widehat{EPF}$，
在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°-∠EPF=45°，
∴∠EKF=2∠M=90°，
∵EF=4，
∴KE=KF=2$\sqrt{2}$，
∴P运动的路径长=$\frac{90π•2\sqrt{2}}{180}$=$\sqrt{2}$π，
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、旋转的性质、轨迹、圆等知识，解题的关键是正确发现轨迹的位置，学会添加辅助线，利用圆的有关性质解决问题，属于中考填空题中的压轴题．