Question

5．如图，菱形ABCD中，0是AC中点，EF经过点O，分别交AD，CB的延长线于点E，F．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）已知AB=a，∠DAB=α（0＜α＜90°）．
①试问四边形AFCE是否可能为矩形？若可能，请用α表示∠AOE的度数；若没可能，请说明理由；
②直接写出当S_{四边形ABCD}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$S_{四边形AFCE}时DE的长（用含α的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）由△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，由此即可证明．
（2）根据矩形的性质得到OA=OE，由∠AOE=180°-（∠OAE+∠OEA）即可解决问题．
（3）把条件S_{四边形ABCD}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$S_{四边形AFCE}，转化为AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=OC}\\{∠AOE=∠FOC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．

（2）①四边形AFCE能为矩形．
理由：如图1中，当OA=OC=OE=OF时，四边形AFCE是矩形．
此时∠OAE=∠OEA=$\frac{1}{2}$α，
∴∠AOE=180°-（∠OAE+∠OEA）=180°-α．

②如图2中，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD交于点O，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴S_△AOF=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，S_△AOD=$\frac{1}{4}$S_{四边形AFCE}，
∵S_{四边形ABCD}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$S_{四边形AFCE}，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE，
∵AD=AB=a，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+DE），
∴DE=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$a．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．