Question

8．在?ABCD中，AB=2AD，F为AB的中点，CE⊥AD交AD（或延长线）于E，求证：∠BFE=3∠AEF．

Answer 1

分析 取CD的中点G，连接EG、FG，先证明∠1=∠DEG，再证明四边形AFGD是平行四边形，得出AD∥FG，证出∠1=∠4，∠2=∠3，即可得出结论．

解答 证明：取CD的中点G，连接EG、FG，如图所示：
则DG=CG，
∵CE⊥AD，
∴∠DEC=90°，
∴EG=$\frac{1}{2}$CD=DG，
∴∠1=∠DEG，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD，
∴AB=CD=2AD，AB∥CD，
∵F是AB的中点，
∴AF=DG，AF∥DG，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∴∠ADG=∠AFG，AD∥FG，AD=FG，
∴∠1=∠4，∠2=∠AEF，EG=FG，
∴∠2=∠3，
∴∠4=∠AEF+∠3，
∴∠2+∠4=∠AEF+∠AEF+∠3=3∠AEF，
即∠BFE=3∠AEF．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质；通过作辅助线证明平行四边形