Question

15．已知一抛物线y=ax²+bx+c的顶点P为（-1，-4），且过A（1，0）点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜-6，写出y₁、y₂的大小关系；
（3）写出当ax²+bx+c＜0时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设顶点式y=a（x+1）²-4，然后把A（1，0）代入求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）²-4，
把A（1，0）代入得a•2²-4=0，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x+1）²-4；
（2）抛物线的对称轴为直线x=-1，
所以当x₁＜x₂＜-6，y₁＞y₂；
（3）当y=0时，（x+1）²-4=0，解得x₁=1，x₂=-3，
所以当-3＜x＜1时，y＜0，即ax²+bx+c＜0．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数与不等式（组）．