Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线w的表达式为y=-$\frac{4}{21}{x^2}+\frac{16}{21}x+4$，抛物线w与X轴交于A、B两点（B在A右侧）与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C、D两点．
（1）求A、B两点的坐标及直线L的函数表达式；
（2）将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线L交于点F，当△ACF是直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出抛物线W′的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值对应关系，当函数值为零时，可得A、B点坐标，当自变量为零时，可得C点坐标，根据对称轴公式，可得D点坐标，根据待定系数法，可得l的解析式；
（2）根据余角性质，可得∠1与∠3的关系，根据正切的定义，可得关于F点的横坐标的方程，根据解方程，可得F点坐标，平移后的对称轴，根据平移后的对称轴，可得平移后的函数解析式．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{4}{21}$x²+$\frac{16}{21}$x+4=0，
解得x₁=-3，x₂=7，
∴点A坐标为（-3，0），点B的坐标为（7，0）．
∵-$\frac{b}{2a}$=2，
∴抛物线w的对称轴为直线x=2，
∴点D坐标为（2，0）．
 当x=0时，y=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线l的表达式为y=kx+b，$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-2x+4；
（2）∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC=90°，如图．
此时抛物线w′的对称轴与x轴的交点为G，
∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴tan∠1=tan∠3，
∴$\frac{FG}{AG}$=$\frac{AO}{CO}$．
设点F的坐标为（x_F，-2x_F+4），
∴$\frac{-（-2{x}_{F}+4）}{{x}_{F}-（-3）}$=$\frac{3}{4}$，
解得x_F=5，-2x_F+4=-6，
∴点F的坐标为（5，-6），
此时抛物线w′的函数表达式为y=-$\frac{4}{21}$x²+$\frac{40}{21}$x；

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，待定系数法求函数解析式；（2）利用了余角的性质，正切函数的性质，利用等角的正切函数值相等得出关于F点横坐标的方程是解题关键