Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．
（1）求证：△APQ≌△QCE；
（2）求∠QAE的度数；
（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质解答；
（3）把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，求出∠GAF=45°，从而得到∠GAF=∠QAF，再利用“边角边”证明△AQF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF，再根据两直线平行，同位角相等求出∠CQF=45°，然求出CQ=CF，分别用x表示出CQ、CF、QF，利用勾股定理列式表示出QF，然后列出方程求出x，再求出△AGF的面积，即为△AQF的面积．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，
∵BP=BQ，
∴△PBQ是等腰直角三角形，AP=CQ，
∴∠BPQ=45°，
∵CE为正方形外角的平分线，
∴∠APQ=∠QCE=135°，
∵AQ⊥QE，
∴∠CQE+∠AQB=90°，
又∵∠PAQ+∠AQB=90°，
∴∠PAQ=∠CQE，
在△APQ和△QCE中，

∠PAQ=∠CQE AP=CQ ∠APQ=∠QCE

，
∴△APQ≌△QCE（ASA）；

（2）解：∵△APQ≌△QCE，
∴AQ=EQ，
∵AQ⊥QE，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴∠QAE=45°；

（3）解：如图，把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，
则AQ=AG，BQ=DG，∠BAQ=∠DAG，
∵∠QAE=45°，
∴∠GAF=45°，
∴∠GAF=∠QAF，
在△AQF和△AGF中，

AQ=AG ∠GAF=∠QAF AF=AF

，
∴△AQF≌△AGF（SAS），
∴QF=GF，
∵QF∥CE，
∴∠CQF=45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴CQ=CF，
∵BQ=x，
∴CQ=CF=2-x，
∴DF=2-（2-x）=x，
∴QF=GF=2x，
在Rt△CQF中，CQ²+CF²=QF²，
即（2-x）²+（2-x）²=（2x）²，
解得x=2-

2

，
∴△AGF的面积=

1

2

×2（2-

2

）×2=4-2

2

，
即△AQF的面积为4-2

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．