Question

9．如图，在△ABD中，AB=AD，将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．E是BD上一点，且BE＞DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断∠DFC与∠BAE的大小关系并加以证明；
（3）若∠BAD=120°，AB=2，取AD的中点G，连结EG，求EA+EG的最小值．

Answer 1

分析 （1）将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．E是BD上一点，且BE＞DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE，据此画图即可；
（2）根据△ABE≌△CBE（SAS），可得∠BAE=∠BCE．再根据AD∥BC，可得∠DFC=∠BCE，进而得出∠DFC=∠BAE；
（3）连接CG，AC，根据EC+EG≥CG可知，CG长就是EA+EG的最小值，根据△ACD为边长为2的等边三角形，G为AD的中点，运用勾股定理即可得出CG=$\sqrt{3}$，进而得到EA+EG的最小值．

解答 解：（1）如图所示：

（2）判断：∠DFC=∠BAE．
证明：∵将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．
∴BC=BA=DA=CD．
∴四边形ABCD为菱形．
∴∠ABD=∠CBD，AD∥BC．
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴∠BAE=∠BCE．
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCE．
∴∠DFC=∠BAE．
（3）如图，连接CG，AC．

由轴对称的性质可知，EA=EC，
∴EA+EG=EC+EG，
根据EC+EG≥CG可知，CG长就是EA+EG的最小值．
∵∠BAD=120°，四边形ABCD为菱形，
∴∠CAD=60°．
∴△ACD为边长为2的等边三角形．
又∵G为AD的中点，
∴DG=1，
∴Rt△CDG中，由勾股定理可得CG=$\sqrt{3}$，
∴EA+EG的最小值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，菱形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．