题目内容
已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题
专题：压轴题
分析：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明；
（2）分两种情况：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上；②当0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，
（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．
（2）分两种情况：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上；②当0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，
（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．
解答：
证明：（1）如图，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，
∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE，
在△PMF和△PNE中，
，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE=PF；
（2）解：分两种情况：
①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，
由（1）得△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE-ON=t-1，
∴b-a=1+t-（t-1）=2，
∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，
同理可证△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON-NE=1-t，
∴b+a=1+t+1-t=2，
∴b=2-a．
综上所述，当t＞1时，b=2+a；当0＜t≤1时，b=2-a；
（3）存在；
①如图3，当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），
∴F′（1-t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1-
t，0）
∴OQ=1-
t，
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
当△OEQ∽△MPF
∴
=
∴
=
，
解得，t=
，
当△OEQ∽△MFP时，
∴
=
，
=
，
解得，t=
，
②如图4，当t＞2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1-t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1-
t，0）
∴OQ=
t-1，
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
当△OEQ∽△MPF
∴
=
∴
=
，
无解，
当△OEQ∽△MFP时，
∴
=
，
=
，
解得，t=2+
，t=2-
（舍去）
所以当t=
，t=
，t=2+
时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．
证明：（1）如图，连接PM，PN，∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，
∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE，
在△PMF和△PNE中，
|
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE=PF；
（2）解：分两种情况：
①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，
由（1）得△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE-ON=t-1，
∴b-a=1+t-（t-1）=2，
∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，
同理可证△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON-NE=1-t，
∴b+a=1+t+1-t=2，
∴b=2-a．
综上所述，当t＞1时，b=2+a；当0＜t≤1时，b=2-a；
（3）存在；
①如图3，当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），
∴F′（1-t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1-
| 1 |
| 2 |
∴OQ=1-
| 1 |
| 2 |
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
当△OEQ∽△MPF
∴
| OE |
| MP |
| OQ |
| MF |
∴
| t-1 |
| 1 |
1-
| ||
| t |
解得，t=
1+
| ||
| 4 |
当△OEQ∽△MFP时，
∴
| OE |
| MF |
| OQ |
| MP |
| t-1 |
| t |
1-
| ||
| 1 |
解得，t=
| 2 |
②如图4，当t＞2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1-t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1-
| 1 |
| 2 |
∴OQ=
| 1 |
| 2 |
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
当△OEQ∽△MPF
∴
| OE |
| MP |
| OQ |
| MF |
∴
| t-1 |
| 1 |
| ||
| t |
无解，
当△OEQ∽△MFP时，
∴
| OE |
| MF |
| OQ |
| MP |
| t-1 |
| t |
| ||
| 1 |
解得，t=2+
| 2 |
| 2 |
所以当t=
1+
| ||
| 4 |
| 2 |
| 2 |
点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．
练习册系列答案
全能测控期末小状元系列答案
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要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（ ）
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
在实数：3.14159，
，1.010010001…，4.
，π，
，
中，无理数有（ ）
| 3 | 64 |
| •• |
| 21 |
| 3 |
| 22 |
| 7 |
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取
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