Question

14．在直角△ABC中，AC=6，E在AC边上，满足CE=2AE，D为斜边AB的中点，F是线段BC上一动点，满足∠EDF=90°，则BF-FC的最大值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 当点C与F重合时，BF-FC的值最大=BC，根据已知条件得到AE=2，CE=4，由D为斜边AB的中点，得到AD=CD=BD，根据直角三角形的性质得到∠A=∠ACD，∠B=∠BDF，得到DE=AE=2，根据勾股定理得到CD=$\sqrt{C{E}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 解：如图，∵F是线段BC上一动点，
∴当点C与F重合时，BF-FC的值最大=BC，
∵AC=6，CE=2AE，
∴AE=2，CE=4，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD=CD=BD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BDF，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠BDF=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE=2，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2CD=4$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$．
∴BF-FC的最大值是2$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，确定当点C与F重合时，BF-FC的值最大是解题的关键．