Question

19．已知：二次函数y=mx²+2mx-3m的图象与x轴交于A、B两点（点A在左，点B在右），与y轴交于点C（m＞0），顶点为D．当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？

Answer 1

分析 分两种情形讨论即可：①当∠ACD=90°时，作DH⊥OC于H．由△AOC∽△CHD，推出$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OC}{DH}$，可得$\frac{3}{m}$=$\frac{3m}{1}$，解得m=1或-1（舍弃），由此即可判断．②当∠ADC=90°时，作DH⊥OC于H，AE⊥DH于E．由△AED∽△DHC，可得$\frac{AE}{DH}$=$\frac{DE}{CH}$，可得$\frac{4m}{1}$=$\frac{2}{m}$，求得m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍弃），由此即可解决问题．

解答 解：①当∠ACD=90°时，作DH⊥OC于H．

由题意可知A（-3，0），B（1，0），C（0，-3m），D（-1，-4m），
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠DCH=90°，
∴∠CAO=∠DCH，∵∠AOC=∠DHC=90°，
∴△AOC∽△CHD，
∴$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OC}{DH}$，
∴$\frac{3}{m}$=$\frac{3m}{1}$，
∴m=1或-1（舍弃），
∴C（0，-3），D（-1，-4），
∴OA=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{OC}{OB}$=3，
∴$\frac{AC}{OC}$=$\frac{CD}{OB}$，∵∠ACD=∠BOC=90°，
∴△BOC∽△DCA．
②当∠ADC=90°时，作DH⊥OC于H，AE⊥DH于E．

由△AED∽△DHC，可得$\frac{AE}{DH}$=$\frac{DE}{CH}$，
∴$\frac{4m}{1}$=$\frac{2}{m}$，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍弃），
∴AE=2$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{3}$，DC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
显然此时△ADC与△OBC不相似．
综上所述，m=1时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、抛物线与坐标轴的交点问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．