Question

已知关于x的一元二次方程x²﹣2mx+m²﹣m=o有两个实数根a、b；

（1）求实数m的取值范围；

（2）求代数式a²+b²﹣3ab的最大值．

Answer 1

【考点】根的判别式；根与系数的关系；配方法的应用．

【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2m）²﹣4（m²﹣m）≥0，然后解不等式即可；

（2）由根与系数的关系得出a+b=2m，ab=m²﹣m，将代数式a²+b²﹣3ab变形为（a+b）²﹣5ab=﹣m²+5m=﹣（m﹣）²+，即可求出最大值．

【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣2m）²﹣4（m²﹣m）≥0，

解得m≥0；

（2）∵关于x的一元二次方程x²﹣2mx+m²﹣m=0有两个实数根a、b，

∴a+b=2m，ab=m²﹣m，

∴a²+b²﹣3ab=（a+b）²﹣5ab

=（2m）²﹣5（m²﹣m）

=﹣m²+5m

=﹣（m﹣）²+，

由（1）得m≥0，

∴代数式a²+b²﹣3ab的最大值为．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

也考查了根与系数关系，配方法的应用．