Question

5．已知：直线y=k+2与x轴、y轴分别相交于点D、C与双曲线y=$\frac{4}{x}$相交于点A、B两点，且满足$\frac{AD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，过点B作BP⊥AB，交y轴于点P，求tan∠BPC的值．

Answer 1

分析 作AE∥OD，交y轴与E，根据直线的解析式求得OC=2，然后根据平行线分相等成比例定理求得EO=1，从而得出A的纵坐标为-1，代入反比例函数的解析式求得A的坐标，再根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；由∠DCO=∠PCB，∠PBC=∠DOC=90°可知∠BPC=∠CDO，根据直线y=$\frac{3}{4}$x+2可求得与x轴、y轴的交点，从而求得OC、OD的长，求得tan∠BPC的值．

解答 解：作AE∥OD，交y轴与E，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{EO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
由直线y=kx+2可知C（0，2），
∴OC=2，
∴EO=1，
∴A的纵坐标为-1，
代入y=$\frac{4}{x}$得，-1=$\frac{4}{x}$，解得x=-4，
∴A（-4，-1），
把A（-4，-1）代入y=kx+2得，-1=-4k+2，
解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直线为y=$\frac{3}{4}$x+2，
∵BP⊥AB，
∴∠PBC=90°，
∴∠BPC+∠PCB=90°
∵DO⊥CO，
∴∠DOC=90°，∠CDO+∠DCO=90°，
又∵∠DCO=∠PCB，
∴∠BPC=∠CDO，
∴tan∠BPC=tan∠CDO，
在y=$\frac{3}{4}$x+2中，令y=0，则x=$\frac{8}{3}$，
∴DO=$\frac{8}{3}$，
在Rt△DOC中，tan∠BPC=tan∠CDO=$\frac{OC}{DO}$=$\frac{2}{\frac{8}{3}}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角函数的有关知识，同学们要熟练掌握．