Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（1，4），点A在第二象限，反比例函数y=的图象经过点A，则k的值是（　　）

A．﹣2  B．﹣4  C．﹣ D．

Answer 1

C【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先通过证得△AOD≌△OCE得出AD=OE，OD=CE，设A（x，），则C（，﹣x），根据正方形的性质求得对角线解得F的坐标，根据直线OB的解析式设出直线AC的解析式为：y=﹣x+b，代入交点坐标求得解析式，然后把A，C的坐标代入即可求得k的值．

【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，

∵∠AOC=90°，

∴∠AOD+∠COE=90°，

∵∠AOD+∠OAD=90°，

∴∠OAD=∠COE，

在△AOD和△OCE中，

，

∴△AOD≌△OCE（AAS），

∴AD=OE，OD=CE，

设A（x，），则C（，﹣x），

∵点B的坐标为（1，4），

∴OB==，

直线OB为：y=4x，

∵AC和OB互相垂直平分，

∴它们的交点F的坐标为（，2），

设直线AC的解析式为：y=﹣x+b，

代入（，2）得，2=﹣×+b，解得b=，

直线AC的解析式为：y=﹣x+，

把A（x，），C（，﹣x）代入得

，解得k=﹣．

故选C．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，正方形的性质，三角形求得的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．