Question

15．如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=$\frac{5}{2}$，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3\sqrt{13}}{13}$
• C． $\frac{10\sqrt{41}}{41}$
• D． $\frac{\sqrt{41}}{10}$

Answer 1

分析 先求出△ADE的面积是矩形面积的一半，再用勾股定理求出AM，最后用面积公式求解即可．

解答 解：如图，

连结DM，
在矩形ABCD中，AB=1，BC=$\frac{5}{2}$，
∴S_矩形ABCD=AB×BC=1×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵M为BC中点，
∴S_△ADM=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{4}$，
在RT△ABM中，AB=1，BM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{4}$，
根据勾股定理得，AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{4}$，
∴S_△ADM=$\frac{1}{2}$AM×DE=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{41}}{4}$×DE=$\frac{5}{4}$，
∴DE=$\frac{10\sqrt{41}}{41}$，
故选C

点评 本题考查了矩形的性质，三角形的面积的计算，勾股定理，解本题的关键是判断△ADE的面积是矩形面积的一半．