Question

16．如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C．
（1）求证：DB平分∠PDC；
（2）若DC=6，tan∠P=$\frac{3}{4}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，利用切线性质得∠ODB+∠PDB=90°，由CD⊥OB得∠CDB+∠DBC=90°，加上∠ODB=∠OBD，于是得到∠CDB=∠PDB，即DB平分∠PDC；
（2）作BE⊥PD，如图，根据角平分线的性质定理得到BC=BE，在Rt△PDC中，利用三角函数的定义计算PC=8，则利用勾股定理可计算出PD=10，设BC=x，则BE=x，PB=8-x，通过证明Rt△PBE∽Rt△PDC，利用相似比得到x：6=（8-x）：10，然后根据比例性质求出x即可．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵PD为切线，
∴OD⊥PD，
∴∠ODP=90°，即∠ODB+∠PDB=90°，
∵CD⊥OB，
∴∠DCB=90°，
∴∠CDB+∠DBC=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠CDB=∠PDB，
∴DB平分∠PDC；
（2）解：作BE⊥PD，如图，
∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，
∴BC=BE，
在Rt△PDC中，∵tanP=$\frac{CD}{PC}$=$\frac{6}{PC}$=$\frac{3}{4}$，
∴PC=8，
∴PD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
设BC=x，则BE=x，PB=8-x，
∵∠EPB=∠CPD，
∴Rt△PBE∽Rt△PDC，
∴BE：DC=PB：PD，即x：6=（8-x）：10，解得x=3，
即BC的长为3．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决本题的关键是根据角平分线性质作BE⊥PD得到BC=BE，同时构建Rt△PBE∽Rt△PDC．