Question

5．在直角△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边上，连结BE，作∠ACF=∠CBE交AB于点F，同时点D在BE上，且CD⊥AB．
（1）已知：如图，$\frac{AE}{CE}=1$，$\frac{AC}{BC}=1$．
①求证：△ACF≌△BCD．
②求$\frac{CF}{DE}$的值．
（2）若$\frac{AE}{CE}=2$，$\frac{AC}{BC}=2$，则$\frac{CF}{DE}$的值是多少（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）①根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
②根据相似三角形的性质解答即可；
（2）根据②结论和图中条件解答即可．

解答 证明：（1）①∵∠ACB=90°，$\frac{AC}{BC}=1$，CG⊥AB，
由等腰三角形的三线合一的性质可得：CD是∠ACB的角平分线，∠BCD=45°，
在△CAF与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠CBE}\\{∠CAF=∠BCD=45°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD；
②由①可知：∠AFC=∠CDB，
∴∠CFB=∠CDE，
∵∠CBF=∠ECD=45°，
∴△CDE∽△BFC，
∴$\frac{CF}{DE}=\frac{BC}{CE}=2$；
（2）∵$\frac{CF}{DE}=\frac{BC}{CE}$，
∵$\frac{AE}{CE}=2$，$\frac{AC}{BC}=2$，
∴$\frac{CF}{DE}=\frac{3}{2}$．

点评 此题考查三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和相似三角形的判定和性质进行解答．