Question

已知AB是⊙O的直径，过B作AB的垂线BM，MC与⊙O相切于C，OC交AB于D，如图1．
（1）求证：AC∥DM；
（2）若AB为⊙O的弦，其他条件不变，求证：AC∥DM．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）连接BC，证明M、C、D、B四点共圆；运用切线的性质及圆内接四边形的性质，即可解决问题．
（2）运用同（1）中的思路、方法即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，连接BC；
∵BM⊥AB，MC为⊙O的切线，
∴∠MBO+∠MCO=90°+90°=180°，
∴M、C、D、B四点共圆，
∴∠MCB=∠MDB；
又∵MC为⊙O的切线，
∴∠MCB=∠A，
∴∠A=∠MDB，
∴AC∥DM．

（2）如图2，连接BC；
∵BM⊥AB，MC为⊙O的切线，
∴∠MBO+∠MCO=90°+90°=180°，
∴M、C、D、B四点共圆，
∴∠MCB=∠MDB；
又∵MC为⊙O的切线，
∴∠MCB=∠A，
∴∠A=∠MDB，
∴AC∥DM．

点评：该命题在考查切线的性质定理的同时，还渗透了对圆内接四边形的判定及其应用的考查；解题的关键是作辅助线，沟通角与角之间的关系，灵活运用切线的性质定理来解题．