Question

如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，∠ABC的平分线交圆O于E，交AC于D，过E作AC的平行线，交BA的延长线于F．试探索AE，CD，EF线段的关系．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：连接CE，可证明△FEA∽△ECD，得出

EF

EC

=

EA

CD

，即AE•EC=CD•EF，再由AE=CE，即可得出AE²=CD•EF．

解答：解：AE²=CD•EF．理由如下：
如图，连接CE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴AE=CE，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠BAC，
∵∠FEA=∠OEB，∠OBE=∠ACE，
∴∠FEA=∠ECA，
∴△FEA∽△ECD，
∴

EF

EC

=

EA

CD

，即AE•EC=CD•EF，
∴AE²=CD•EF．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，解题时需要掌握圆周角、弧、弦间的关系：在同圆中，等弧所对的圆周角相等．