Question

8．已知a，b为有理数，m，n分别表示7-$\sqrt{7}$的整数部分和小数部分，且慢amn+bn²=4，求2a+b的值．

Answer 1

分析 只需首先对7-$\sqrt{7}$估算出大小，从而求出其整数部分m，其小数部分用7-$\sqrt{7}$-m表示．再分别代入amn+bn²=4进行计算．求出a，b的值，代入2a+b即得结果．

解答 解：∵2＜$\sqrt{7}$＜3，
∴4＜7-$\sqrt{7}$＜5，
∴m=4，n=7-$\sqrt{7}$-4=3-$\sqrt{7}$的，
∵amn+bn²=4，
∴4（3-$\sqrt{7}$）a+b（3-$\sqrt{7}$）²=4，
化简得（12a+16b）-（4$\sqrt{7}$a+6$\sqrt{7}$b）=4，
等式两边相对照，因为结果不含$\sqrt{7}$的，
∴（12a+16b）=4且（4$\sqrt{7}$a+6$\sqrt{7}$b）=0，
解得a=3，b=-2，
∴2a+b=2×3-2=6-2=4．

点评 本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．