Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB = CD，AB = kBC，点P是四边形ABCD内一点，且∠BAP =∠BCP，连结PB、PD．猜想∠ABP与∠ADP的关系，并证明．

说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以补充条件k = 1．在补充条件后，先画图，再完成上面的问题，最多可得7分．

Answer 1

结论：∠ABP =∠ADP．（说明：结论1分，但不重复得分）                       

证明：如图1，过点P作PE∥AD交AB于E，GH∥AB交BC、AD于G、H．

∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

∴AD∥BC∥PE，AB∥CD∥GH．

∴∠PEA＝∠ABC＝∠PGC，∠PEB＝∠BAD＝∠PHD．

∵∠BAP＝∠BCP，∠PEA＝∠PGC，

∴△PAE∽△PCG，

∴， ∵四边形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四边形，

∴AE＝PH，BE＝PG，DH＝CG．

∴又∵∠PEB＝∠PHD，

∴△PBE∽△PDH．

∴∠ABP＝∠ADP．补充条件：．

结论：∠ABP =∠ADP．（说明：结论1分，但不重复得分）

画出草图，如图2．

证明：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

∵，AB=BC∴AB＝BC．

∴平行四边形ABCD是菱形．

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC，

连接AC．

∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．

∵∠BAP＝∠BCP，

∴∠CAP＝∠ACP，∴AP＝CP．∵BP＝BP，∴△PAB≌△PCB，

∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC．

∵AD＝CD，AP＝CP，DP＝DP，

∴△PAD≌△PCD，

∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC，∴∠ABP＝∠ADP．