Question

14．如图是某一过街天桥的示意图，天桥高CO为6米，坡道倾斜角∠CBO为45°，在距B点5米处有一建筑物DE．为方便行人上下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但要求建筑物与新坡角A处之间地面要留出不少于3米宽的人行道．
（1）若将倾斜角改建为30°（即∠CAO=30°），则建筑物DE是否要拆除？（ $\sqrt{3}$≈1.732）
（2）若不拆除建筑物DE，则倾斜角最小能改到多少度（精确到1°）？

Answer 1

分析 （1）分别在△CAO和△CBO中，求出AO、BO的长度，最后比较AO+3与OE的长度，进行判断；
（2）若不拆除建筑物DE，则OA最长可以是11-3=8m，在Rt△CAO中，求出∠CAO的度数．

解答 解：（1）当∠CAO=30°时，
在Rt△CAO中，
∵CO=6m，tan∠CAO=$\frac{CO}{AO}$，
∴AO=$\frac{CO}{tan∠CAO}$=$\frac{6}{tan30°}$=6$\sqrt{3}$（m），
在Rt△CBO中，
∵∠CBO=45°，
∴BO=CO=6m，
∵AO+3=6$\sqrt{3}$+3＞11=OE，因此建筑物DE要拆除；
（2）若不拆除建筑物DE，则OA最长可以是11-3=8m，
在Rt△CAO中，
∵CO=6m，tan∠CAO=$\frac{CO}{AO}$=$\frac{6}{8}$=0.75，
∴∠CAO≈37°，
因此倾斜角最小能改到37°．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．