Question

8．矩形ABCD中，AB=6，BC=6$\sqrt{3}$，半径为$\sqrt{3}$的⊙P与线段BD相切于点M，圆心P与点C在直线BD的同侧，⊙P沿线段BD从点B向点D滚动． 若⊙P与矩形ABCD的两条对角线都相切，则tan∠PBM=$\frac{\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 分两种情形：当点P在△BOC内时，根据切线的性质得到∠BOP=60°，求得BM=5，于是得到tan∠PBM=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，当点P在△DOC内时，根据切线的性质得到∠DOP=30°，于是得到tan∠PBM=$\frac{\sqrt{3}}{9}$；

解答 解：当点P在△BOC内时
∵⊙P与AC、BD相切，
∴∠BOP=60°，
∴OM=1，
∴BM=5，
此时tan∠PBM=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
如图4，当点P在△DOC内时，
∵⊙P与AC、BD相切，
∴∠DOP=30°，
∴OM=3，
∴BM=9，
此时tan∠PBM=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了矩形的性质，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．