Question

20．如图，E、F是?ABCD对角线AC上两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）如果把条件AE=CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
（3）如果把条件AE=CF改为BE=DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）方法一：证明△BAE≌△DCF，推出BE=DF，BE∥DF即可．方法二：连接BD，交AC于点O．只要证明OE=OF，OB=OD即可；
（2）是平行四边形．只要证明△BAE≌△DCF即可解决问题；
（3）四边形BFDE不是平行四边形．因为把条件AE=CF改为BE=DF后，不能证明△BAE与△DCF全等；

解答 （1）证法一：∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD  且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠BAE=∠DCF
又∵AE=CF
∴△BAE≌△DCF（SAS）
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD
∴∠BEF=180°-∠AEB∠DFE=180°-∠CFD
即：∠BEF=∠DFE
∴BE∥DF，而BE=DF
∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
证法二：连接BD，交AC于点O．

∵ABCD是平行四边形
∴OA=OC  OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）
又∵AE=CF
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

（2）四边形BFDE是平行四边形
∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD  且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠BAE=∠DCF
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠BEA=∠DFC=90°，BE∥DF
∴△BAE≌△DCF（AAS）
∴BE=DF
∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

（3）四边形BFDE不是平行四边形
因为把条件AE=CF改为BE=DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．