Question

15．已知二次函数y=x²+（m-3）x+1-2m．求证：
（1）此二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当m取不同的值时，这些二次函数的图象都会经过一个定点，求此定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用根的判别式，可得结论；
（2）首先分离出m，令m的系数为0，求出x，再求出y，也就是说这个定点与m的值无关．

解答 证明：（1）b²-4ac=（m-3）²-4（1-2m）=m²+2m+5=（m+1）²+4，
∵（m+1）²≥0，∴（m+1）²+4＞0，
∴二次函数图象与x轴有两个交点；

（2）y=x²+（m-3）x+1-2m=x²+（x-2）m-3x+1，
∵当m取不同的值时，这些二次函数的图象都会经过一个定点，
∴这个定点与m的值无关，
∴x-2=0，
解得：x=2，
∴y=2²-3×2+1=-1，
∴当m取不同的值时，这些二次函数的图象都会经过（2，-1）．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟记二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点是解答此题的关键．