Question

3．按一定规律排列的一列数依次为：$\frac{1}{3}，\frac{1}{15}，\frac{1}{35}，\frac{1}{63}，…$，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是$\frac{1}{195}$．

Answer 1

分析 首先根据题意，可得每个数的分子都是1；然后根据第一个数的分母3=1×3=（2×1-1）×（2×1+1），第二个数的分母15=3×5=（2×2-1）×（2×2+1），第三个数的分母35=5×7=（2×3-1）×（2×3+1），第四个数的分母63=7×9=（2×4-1）×（2×4+1），…，可得第n个数的分母是2n-1与2n+1的乘积，据此求出这列数中的第7个数的分母是多少，进而求出它的值是多少即可．

解答 解：每个分数的分子都是1，
因为3=1×3=（2×1-1）×（2×1+1），
15=3×5=（2×2-1）×（2×2+1），
35=5×7=（2×3-1）×（2×3+1），
63=7×9=（2×4-1）×（2×4+1），
…，
所以第n个数的分母是2n-1与2n+1的乘积，
所以这列数中的第7个数是：
$\frac{1}{（2×7-1）×（2×7+1）}=\frac{1}{195}$．
故答案为：$\frac{1}{195}$．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：每个数的分子都是1，第n个数的分母是2n-1与2n+1的乘积．