Question

12．重庆建筑多因地制宜、依山而建，现有以住宅楼如图所示，该楼背后为一斜坡，坡角为15°，为测得该楼的高度，一兴趣小组的同学在C点测得楼顶A点的仰角为45°，点D点测的仰角为60°，CD两点之间的距离是20米，C、B在同一水平地面上，CD与AB交于点E．
（1）求D点距离地面的垂直距离；
（2）求斜坡最高点E点到楼顶A点之间的距离．
（结果保留根号，参考数据：tan15°=0.27，sin15°=0.26，cos15°=0.97，$\sqrt{3}$=1.732，$\sqrt{2}$=1.414，$\sqrt{6}$=2.449）

Answer 1

分析 （1）作DH⊥BC，垂足为H，由DH=20×sin15°可得出结论；
（2）先求出CH、FH的长，再判断出△DHF∽△ABF，由相似三角形的性质可得出结论．

解答 解：如图，
（1）作DH⊥BC，垂足为H．
∵CD=20m，∠DCH=15°，
∴DH=20×sin15°≈20×0.26=5.2米；

（2）由在D点测的仰角为60°可知∠AFB=60°，
CH=20•cos15°≈20×0.97=19.4米；
∵DH=5.2米，
∴FH=$\frac{DH}{tan60°}$=$\frac{5.2}{\sqrt{3}}$≈3.0米，CF=CH-FH=19.4-3.0=16.4（米）．
令BC=h，则AB=BC=h，BF=h-CF=h-16.4米，
∵DH⊥BC，AB⊥BC，
∴△DHF∽△ABF，
∴$\frac{DH}{AB}$=$\frac{FH}{BF}$，即$\frac{5.2}{h}$=$\frac{3}{h-16.4}$，解得h≈38.7（米）．
∵BE=BC•tan15°≈38.7×0.27≈10.4，
∴AE=AB-BE=38.7-10.4=28.3（米）．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．