题目内容
4．【问题思考】有这么一道数学问题：“若x+2y=5，则代数式5-2x-4y的值为-5”同学A：我可以选择特殊值法求解，如取x=1，那么y=2，
则所求代数式的值为5-2x-4y=5-2×1-4×2=-5，
同学B：我也可以用整体思想进行求解，设a=x+2y=5，
5-2x-4y=5-2（x+2y）=5-2a=5-2×5=-5
[问题解决】运用上述思想方法解决下列问题：
（1）若代数式a2+2a的值为5，则代数式5-4a-2a2的值为-5．
（2）若方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，则方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+2{b}_{1}y=4{c}_{1}}\\{{a}_{2}x+2{b}_{2}y=4{c}_{2}}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$
（3）方程组$\left\{\begin{array}{l}{2013（x+2）+2014（y+1）=1}\\{2014（x+2）+2013（y+1）=-1}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$
（4）已知分式方程x+$\frac{1}{x}$=2+$\frac{1}{2}$的解为x1=2，x2=$\frac{1}{2}$，那么方程x+$\frac{1}{x-1}$=a+$\frac{1}{a-1}$的解为x1=a，x2=$\frac{a}{a-1}$．
（5）不交于同一点的三条直线两两相交（如图（1））有6对同旁内角；不交于同一点的四条直线两两相交（如图（2）），有24对同旁内角．
【问题迁移】
《怎样解题》的作者波利亚说过：“发现问题、提出问题比分析问题、解决问题更重要，请你提出一个能用整体思想来求解的有关因式分解的问题，并写出解题过程．
分析 （1）设a2+2a=x，将原式变形后整体代入即可；
（2）将方程组②变形为类似①的形式，并设$\frac{1}{4}$x=m，$\frac{1}{2}$y=n，由①得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，
（3）设x+2=a，y+1=b，将原方程组整体代入后解方程组即可；
（4）将分式方程左边变形为互为倒数的形式，得出结论，求出x的值；
（5）如图（1），按两条直线被第三条直线所截，得出同旁内角的对数，发现可以形成6对同旁内角；如图（2），根据（1）中的结论得出；
【问题迁移】写出一个式子，并分解因式，把a+b看成一个整体，去括号，利用完全平方公式因式分解．
解答 解：（1）设a2+2a=x，
则5-4a-2a2的=5-2（a2+2a）=5-2x=5-2×5=-5；
故答案为：-5；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$①，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+2{b}_{1}y=4{c}_{1}}\\{{a}_{2}x+2{b}_{2}y=4{c}_{2}}\end{array}\right.$②，
将②变形得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}•\frac{1}{4}x+{b}_{1}•\frac{1}{2}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}•\frac{1}{4}x+{b}_{2}•\frac{1}{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$③，
设$\frac{1}{4}$x=m，$\frac{1}{2}$y=n，
则方程组③可化为：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}m+{b}_{1}n={c}_{1}}\\{{a}_{2}m+{b}_{2}n={c}_{2}}\end{array}\right.$④，
比较方程组①和④得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴方程组②的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$；
故答案为；$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$；
（3）设x+2=a，y+1=b，
则原方程组变形为：$\left\{\begin{array}{l}{2013a+2014b=1①}\\{2014a+2013b=-1②}\end{array}\right.$，
①+②得：a+b=0③，
②-①得：a-b=-2④，
由③和④组成新的方程组为$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{a-b=-2}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$；
（4）x+$\frac{1}{x-1}$=a+$\frac{1}{a-1}$，
x-1+$\frac{1}{x-1}$=a-1+$\frac{1}{a-1}$，
∴x-1=a-1，x-1=$\frac{1}{a-1}$，
∴x1=a，x2=$\frac{a}{a-1}$，
经检验：x1=a，x2=$\frac{a}{a-1}$是原方程的解；
故答案为：x1=a，x2=$\frac{a}{a-1}$；
（5）如图（1），直线a与直线c被直线b所截时，所构成的同旁内角有：∠1与∠ABC，∠2与∠CBD，
同理，每一条直线做截线时，都有两对同旁内角，所以一共有6对同旁内角；
如图2，不交于同一点的四条直线两两相交，设这四条直线分别为a、b、c、d，可以分为①a、b、c，②a、b、d，③a、c、d，④b、c、d，每三条直线都构成了6对同旁内角，所以这四组线中一共有24对同旁内角；
故答案为：6，24；
【问题迁移】
因式分解：（a+b）（a+b-4）+4，
解：原式=（a+b）2-4（a+b）+4，
=（a+b-2）2．
点评 本题是根据阅读材料解决实际问题，运用的知识比较多，但难度不大；介绍了特殊值法和整体代入的思想，这在数学解答中经常运用，尤其是整体代入的思想，可以应用于解方程或方程组，也可以利用整体代入求值或因式分解，同时在几何图形中也有运用．
李老师准备网上在线学习，现有甲、乙两家网站供李老师选择，已知甲网站的收费方式是：月使用费7元，包时上网时间25小时，超时费每分钟0.01元； 乙网站的月收费方式如图所示．设李老师每月上网的时间为x小时，甲、乙两家网站的月收费金额分别是y1、y2．
如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连结BF，CE．
如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．