Question

【题目】等腰△BCD中，∠DCB＝120°，点E满足∠DEC＝60°．

（1）如图1，点E在边BD上时，求证：ED＝2BE；

（2）如图2，过点B作DE的垂线交DE的延长线于点F，试探究DE和EF的数量关系，并证明；

（3）若∠DEB＝150°，直接写出BE，DE和EC的关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE＝2EF．理由见解析；（3）BE2＝EDEC．理由见解析．

【解析】

（1）先根据等腰三角形性质和三角形外角的性质得：BC=CD和BE=CE，根据三角形的内角和定理证明∠DCE=180°-30°-60°=90°，由直角三角形30度角的性质可得结论．

（2）结论：DE=2EF．如图2中，作DH⊥EC交EC的延长线于H，连接FH．想办法证明DE=2EH，EF=EH即可解决问题．

（3）结论：BE2=EDEC．证明△DEB∽△BEC可得结论．

（1）证明：如图1中，

∵等腰△BCD中，∠DCB＝120°，

∴BC＝CD，

∴∠B＝∠D＝30°，

∵∠DEC＝60°＝∠B+∠ECB，

∴∠ECB＝30°，

∴BE＝CE，

△DEC中，∠DCE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

∵∠D＝30°，

∴ED＝2EC，

∴ED＝2BE；

（2）解：结论：DE＝2EF．

理由：如图2中，作DH⊥EC交EC的延长线于H，连接FH．

∵∠DHE＝90°，∠DEH＝60°，

∴∠EDH＝30°，

∵CD＝CB，∠BCD＝120°，

∴∠CBD＝∠BDC＝30°，

∴∠BDC＝∠EDH，

∴∠BDF＝∠CDH，

∵BF⊥DF，

∴∠BFD＝∠H＝90°，

∴△DFB∽△DHC，

∴，

∴，

∵∠BDC＝∠FDH，

∴△BDC∽△FDH，

∴∠DBC＝∠DFH＝30°，

∵∠DEH＝∠EFH+∠EHF＝60°，

∴∠EFH＝∠EHF＝30°，

∴EF＝EH，

在Rt△DEH中，∵∠EDH＝30°，

∴DE＝2EFH，

∴DE＝2EF．

（3）解：结论：BE2＝EDEC．

理由：如图3中，

∵∠BED＝150°，∠DEC＝60°，

∴∠BEC＝360°∠BED﹣∠DEC＝360°﹣150°﹣60°＝150°，

∴∠BED＝∠BEC，

∴∠EBD+∠EDB＝30°，

∵∠EBD+∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠EBC，

∴△DEB∽△BEC，

∴，

∴BE2＝DEEC．