Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：

（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？

（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．

（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）10cm；（2）；（3）t＝3或t＝

【解析】

（1）在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式=CP×CQ求解；
（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t．

由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，

（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，

由勾股定理得PQ=；

（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，

因此Rt△CPQ的面积为S=；

（3）分两种情况：

①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，

，即，

解得：t=3秒；

②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，

，即，

解得：t=秒．

因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似