Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点A，将点A向左平移3个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

（1）求点B的坐标（用含m的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点P(-1,-m)，Q(-3,1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）B(-3，-m)；（2）x＝；（3）-1≤m＜0

【解析】

（1）根据抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移3个单位长度，得到点B，可以先求得点A的坐标，再根据平移的性质得到点B的坐标；

（2）根据题目中的点A的坐标和（1）中求得的点B的坐标关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；

（3）根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到m的取值范围．

解：（1）依题意得：A（0，-m）

∴B（-3，-m）

（2）∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，

∴抛物线的对称轴为x＝；

（3）当m＞0时，点A（0，-m）在y轴负半轴，

此时，点P，Q位于抛物线内部（如图）．

所以，抛物线与线段PQ无交点．

当m＜0时，点A（0，-m）在y轴正半轴，

当AQ与x轴平行，即A（0，1）时（如图2），

抛物线与线段PQ恰有一个交点Q（-3，1）．

此时，m=-1．

当m＞-1时（如图3），结合图象，抛物线与线段PQ无交点．

当-1＜m＜0时（如图4），结合图象，抛物线与线段PQ恰有一个交点．

综上，m的取值范围是-1≤m＜0