Question

如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．

（1）当AB=2时，求△GEC的面积；

（2）求证：AE=EF．

 

Answer 1

       解：（1）∵AB=BC=2，点E为BC的中点，

∴BE=EC=1，

∵AE⊥EF，

∴△ABE∽△ECG，

∴AB：EC=BE：GC，

即：2：1=1：GC，

解得：GC=，

∴S_△GEC=•EC•CG=×1×=；

（2）证明：取AB的中点H，连接EH；

∵ABCD是正方形，

AE⊥EF；

∴∠1+∠AEB=90°，

∠2+∠AEB=90°

∴∠1=∠2，

∵BH=BE，∠BHE=45°，

且∠FCG=45°，

∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，

∴△AHE≌△ECF，

∴AE=EF；