Question

12．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃…=A₂₀₁₄A₂₀₁₅=1，过点A₁、A₂、A₃、…、A₂₀₁₅分别作x轴的垂线与反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x≠0）的图象相交于点P₁、P₂、P₃、…P₂₀₁₅，得直角三角形OP₁A₁、A₁P₂A₂、A₂P₃A₃、A₃P₄A₄、…A₂₀₁₄P₂₀₁₅A₂₀₁₅，并设其面积分别为S₁、S₂、S₃、…S₂₀₁₅，则S₂₀₁₅的值为$\frac{1}{2015}$．

Answer 1

分析 根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$中k的几何意义再结合图象即可解答．

解答 解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=$\frac{1}{2}$|k|=1．
又因为OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅
所以S₁=1，
S₂=$\frac{1}{2}$S₁=$\frac{1}{2}$，
S₃=$\frac{1}{3}$S₁=$\frac{1}{6}$，
S₄=$\frac{1}{4}$S₁=$\frac{1}{8}$，
S₅=$\frac{1}{5}$S₁=$\frac{1}{10}$．
…
依此类推：S_n的值为$\frac{1}{n}$．
当n=2015时，S₂₀₁₅=$\frac{1}{2015}$．
故答案是：$\frac{1}{2015}$．

点评 本题主要考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=$\frac{1}{2}$|k|．