Question

6．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点E，F分别在AB，AC上，且AE=EF，点O，M分别为AF，CE的中点．求证：OB=$\sqrt{2}$OM．

Answer 1

分析 连接OE、BM，求出△AEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得OE⊥AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=OM=CM=$\frac{1}{2}$CE，然后求出∠BOM=2∠ACB，从而得到△BOM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质证明．

解答 证明：如图，连接OE、BM，
∵∠ABC=90°，点E，F分别在AB，AC上，且AE=EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵点O是AF的中点，
∴OE⊥AC，
∵点M是CE的中点，
∴BM=OM=CM=$\frac{1}{2}$CE，
∴∠BOM=2∠OCM+2∠BCM=2∠ACB=90°，
∴△BOM是等腰直角三角形，
∴OB=$\sqrt{2}$OM．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．