Question

17．如图，?ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AE平分∠BAD，连接BE，猜想BE与AF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出∠D=∠ECF，根据ASA即可判定△ADE≌△FCE；
（2）先证明AD=DE，得出AB=2AD，再由△ADE≌△FCE，得出AE=FE，AD=CF，得出BF=AB，根据等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，
∴∠D=∠ECF，
∵点E是CD边的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\\{∠AED=∠FEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：BE⊥AF，理由如下：
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
∴BC=AD=DE，AB=2AD，
由（1）得：△ADE≌△FCE，
∴AE=FE，AD=CF，
∴BF=2AD=AB，
∴BE⊥AF（三线合一）．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．