Question

11．已知正方形ABCD中，点E在边CD上，DE=3，EC=1．点F是正方形边上一点，且BF=AE，则FC=$\sqrt{17}$或3．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出BC=AB=AD=CD=DE+EC=4，∠BAD=∠C=∠D=90°，由勾股定理求出AE；分两种情况：①当点F在AD边上时，由勾股定理求出AF，得出DF，在由勾股定理求出FC即可；②当点F在CD边上时，由勾股定理求出FC即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=DE+EC=4，∠BAD=∠C=∠D=90°，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
分两种情况：
①当点F在AD边上时，如图1所示：
∵BF=AE=5，
∴AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴DF=AD-AF=1，
∴FC=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$；
②当点F在CD边上时，如图2所示：
∵BF=AE=5，
∴FC=$\sqrt{B{F}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3；
综上所述：FC的长为$\sqrt{17}$或3；
故答案为：$\sqrt{17}$或3．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理求出AE是解决问题的突破口．