Question

14．如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若AB=2，∠CBA=15°，则CD的长为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连接OC，过点O作OE⊥CD，构造直角三角形，利用勾股定理和三角函数解答．

解答 解：连接OC，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，
∵∠ABC=15°，OB=OC，
∴∠OCB=15°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠OCE=∠BCD-∠OBC=45°-15°=30°，
而AB=2OC=2，
∴OC=1，
∵cos30°=$\frac{CE}{OC}$，
∴在Rt△OCE中，CE=OC×cos30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵OE⊥CD，
∴CD=2CE=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．