Question

3．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{CD}$，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；
（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD²=DF•AB，等量代换得到AD²=DF•AB，推出$\frac{AD}{DF}$=$\frac{AB}{AD}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AD}{BD}$=1，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{CD}$，
∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{BD}{CD}$，
∴DE∥AB；
（2）∵BD是DF和AB的比例中项，
∴BD²=DF•AB，
∵AD=BD，
∴AD²=DF•AB，
∴$\frac{AD}{DF}$=$\frac{AB}{AD}$，
∵DE∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴△ADF∽△DBA，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AD}{BD}$=1，
∴DF=AF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．