Question

17．如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，延长BC至D，使CD=BC，连接AD，过C作CE⊥AD于E，BE交⊙O于F．求证：EF•EB=AE•DE．

Answer 1

分析 由于AB是⊙O的直径，考虑连接AC，得直角三角形．在直角三角形中，因为CE⊥AD于E，满足射影定理，
CE²=DE•AE，证明CE²=EF•EB是关键，所以考虑切割线定理，解决问题需证明CE是切线，利用BC=CD及半径长相等得证．

解答 证明：连接AC、OC
∵AB是直径，∴∠BCA=90°=∠ACD，AC⊥BD．
在Rt△ACD中，∵CE⊥AD于E，
∴CE²=DE•AE（射影定理）
∵AC⊥BD，BC=CD，
∴∠BAC=∠CAD（三线合一），
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=∠CAD，
∴OC∥AD．
∴∠OCE=∠AEC=90°，
因为点C在⊙O上，∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线，
∴CE²=EF•EB（切割线定理）
∴EF•EB=AE•DE．

点评 本题考查了圆的有关性质及切割线定理、射影定理等．也可通过证明三角形相似得到结?论．