Question

7．已知关于x的方程x²+mx+m-2=0．
（1）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求该方程的另一根．

Answer 1

分析 （1）由方程的各系数结合根的判别式可得出△=（m-2）²+4＞0，由此即可证出结论；
（2）将x=1代入原方程，得出关于m的一元一次方程，解方程求出m的值，将其代入原方程得出关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系找出x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-$\frac{1}{2}$，由此即可得出方程的另一根．

解答 （1）证明：∵在关于x的方程x²+mx+m-2=0中：△=m²-4×1×（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：将x₁=1代入方程x²+mx+m-2=0中得：
1+m+m-2=0，解得：m=$\frac{1}{2}$．
∴原方程为x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-$\frac{1}{2}$，
∵x₁=1，
∴x₂=-$\frac{3}{2}$．
故若该方程的一个根为1，该方程的另一根为-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出△=（m-2）²+4＞0；（2）求出m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号判断根的个数是关键．