Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上的一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则下列结论中:

①；②；③tan∠EAF=；④正确的是（）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用正方形的性质，得出∠DAN＝∠EDC，CD＝AD，∠C＝∠ADF即可判定△ADF≌△DCE（ASA），再证明△ABM∽△FDM，即可解答①；根据题意可知：AF＝DE＝AE＝，再根据三角函数即可得出③；作PH⊥AN于H．利用平行线的性质求出AH＝，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④

解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，

∵AF⊥DE，

∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，

∴∠DAN＝∠EDC，

在△ADF与△DCE中， ，

∴△ADF≌△DCE（ASA），

∴DF＝CE＝1，

∵AB∥DF，

∴△ABM∽△FDM，

∴，

∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；

根据题意可知：AF＝DE＝AE＝，

∵ ×AD×DF＝×AF×DN，

∴DN＝ ，

∴EN＝，AN＝，

∴tan∠EAF＝，故③正确，

作PH⊥AN于H．

∵BE∥AD，

∴，

∴PA＝，

∵PH∥EN，

∴，

∴AH＝，

∴PH=

∴PN＝，故②正确，

∵PN≠DN，

∴∠DPN≠∠PDE，

∴△PMN与△DPE不相似，故④错误．

故选：A．